Đơn thức và đa thức

Các biểu thức dạng

a ⋅ x 1 k 1 x 2 k 2 . . . x m k m {\displaystyle a\cdot x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}...x_{m}^{k_{m}}}

trong đó a thuộc vành (trường) K, x1,x2,...,xm là các biến, các số mũ ki là số tự nhiên, được gọi là các đơn thức của m biến x1,x2,...,xm với hệ tử (hệ số) trong K. Tổng các số mũ của các biến trong đơn thức được gọi là bậc của đơn thức.

Tổng của một số hữu hạn các đơn thức trên vành (trường) K được gọi là đa thức trên vành (trường) K. Mỗi đơn thức được gọi là một hạng tử của đa thức đó. Bậc cao nhất của các số hạng có mặt trong đa thức được gọi là bậc của đa thức. Như vậy đa thức của m biến là biểu thức dạng (hay có kí hiệu là):

P ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) = ∑ i = 0 n a i ⋅ x 1 k i , 1 x 2 k i , 2 . . . x m k i , m {\displaystyle P(x_{1},x_{2},...,x_{m})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot x_{1}^{k_{i,1}}x_{2}^{k_{i,2}}...x_{m}^{k_{i,m}}}

Mỗi đơn thức cũng được xem là một đa thức

Đa thức trong đó tất cả các số hạng có cùng bậc k được gọi là đa thức đẳng cấp bậc k.Ví dụ: đa thức P(x) = x 2 y − 2 x y 2 {\displaystyle x^{2}y-2xy^{2}} là đa thức đẳng cấp bậc 3 của hai biến x, y.

Đa thức P(x) được gọi là đa thức thu gọn khi nó không còn để ở dạng khai triển hoặc chưa thành tích, ví dụ p ( x ) = x 2 . x {\displaystyle p(x)=x^{2}.x} là đa thức chưa thu gọn.